BNU Zhuhai 25春 实变函数期中考试

任课教师：薛庆营       卷面总分：100分       考试时长：100分钟

说明

• 第六、七题和第八、九题为两组选做题，选答一道即可。
• 第十一题为附加题。
• 课本原题网络上参考较多，在此不再重复。
• 部分证明只提供了思路梗概，严格证明的细节读者容易自己给出。

一

（$16$ 分）叙述 $\mathbb{R}^n$ 中 $\sigma$- 代数 $\Gamma$ 与 Borel $\sigma$- 代数 $\mathscr{B}$ 的定义，并说明 $\mathbb{R}$ 中全体有理点构成的集合 $\mathbb{Q}^n$ 是 Borel 集.

定义见周民强《实变函数论》P41.

$\mathbb{Q}^n$ 为可数集，$\mathbb{Q}^n=\overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} \{q_n\}$. $q_n$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的有理点. 其中 $\{q_n\}$ 为闭集，属于 Borel 集. 故 $\mathbb{Q}^n$ 为 Borel 集.

二

（$12$ 分）设 $E,F$ 为两个集合，作集合列

$A_n=\begin{cases} E, & n\in 2\mathbb{Z}+1, \\ F, & n\in 2\mathbb{Z}. \end{cases}$

求证：$\overline{\lim\limits_{n\to \infty}} A_n = E\cup F$，$\underset{n \to \infty}{\underline{\lim}}A_n=E\cap F$.

trivial.

三

（$12$ 分）设两个集合 $A,B$ 满足

$(A \setminus B) \sim (B \setminus A).$

试判断 $A$ 与 $B$ 是否对等，并说明依据.

对等，理由如下：

将 $A,B$ 分解为不相交的子集：

$A=(A \setminus B) \cup (A \cap B),\quad B=(B \setminus A)\cup (B\cap A)$

由题设得存在一一映射 $g:A\setminus B \rightarrow B\setminus A$.

定义 $f: A\to B$ 如下：

$f(x)=\begin{cases} g(x), & x\in A \setminus B, \\ x, & x \in A \cap B. \end{cases}$

$f$ 为双射，故 $A\sim B.$

四

（$16$ 分）设 $\{A_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ 为一列可数集.

（$1$）求证：$A_1\times A_2\times \cdot\cdot\cdot \times A_m$ 也是可数集.

（$2$）判断 $A_1\times A_2\times \cdot\cdot\cdot \times A_m \times \cdot\cdot\cdot$ 是否为可数集，并证明你的结论.

（$1$）见周民强《实变函数论》P20 例 9.

（$2$）设 $A=A_1\times A_2\times \cdot\cdot\cdot \times A_m \times \cdot\cdot\cdot$，若所有 $A_n$ 都只有一个元素，那么 $A$ 可数.

否则，$A$ 不可数，理由如下：

$\{A_n \}$ 必定存在无限子列 $\{A_{n_k} \}$，且对 $\forall k \in \mathbb{N}^+$，有 $|A_{n_k}|\geq 2.$

对 $\forall p=(p_1,\cdot\cdot\cdot ,p_k,\cdot\cdot\cdot)\in A$，易将其映射到 $[0,1]$ 上的二进制小数，且该映射为满射. 故 $\overline{A}\geq c$，$A$ 不可数.

五

（$12$ 分）设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$，如果对任意的 $x\in E$，总存在开球 $B_x$，使得 $m^*(E\cap B_x)=0$. 求证：$m^*(E)=0$

见周民强《实变函数论》P71 思考题 3.

六

（$14$ 分）设 $\{f_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma}$ 为定义在 $[a,b]$ 上的一族实值函数，其中 $\Gamma$ 为无穷指标集。如果存在 $M\geq 0$ 对一切 $\alpha \in \Gamma$ 以及 $x\in [a,b]$，均有

$|f_{\alpha} (x)| \le M.$

求证：对 $[a,b]$ 中任意一个可数集 $E$，总存在函数族 $\{f_\alpha \}_{\alpha \in \Gamma}$ 中的一个函数列 $\{f_{\alpha_n}\}_{n\in \mathbb{N}^+}$，使得对一切 $x\in E$，极限 $\underset{n\to \infty}{\lim} f_{\alpha_n} (x)$ 总存在。

见周民强《实变函数论》P55 11.

七

（$14$ 分）叙述 $[0,1]$ 中 Cantor 三分集 $C$ 的构造过程，并证明 $C$ 是非空有界闭集，且 $m^*(C)=0$.

见周民强《实变函数论》P46.

由构造方法得，

$m^*(F_{n+1})=\frac{2}{3}m^*(F_{n}).$

因为 $\{F_n\}$ 为递减集列，故

$m^*(C)=m^*(\overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}}F_n)=\lim\limits_{n\to \infty}(\frac{2}{3})^n=0.$

八

（$12$ 分）假设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的实值连续函数， $B$ 为 $\mathbb{R}$ 中的 Borel 集，判断

$f^{-1}(B):=\{x\in \mathbb{R}:f(x) \in B\}$

是否为 $\mathbb{R}$ 上的 Borel 集？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例.

是，理由如下：

引理：对任意开集 $U\subseteq \mathbb{R}$ 和 $\mathbb{R}$ 上的连续函数 $f$，$f^{-1}(U)$ 为开集.

证明：取 $x_0$ 使得 $f(x_0)\in U$，则 $\exists \varepsilon>0$，使得 $B(f(x_0),\varepsilon) \subset U.$ 由连续函数定义，$\exists \delta > 0$，若 $|x-x_0|<\delta$，则 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$，即 $B(x_0,\delta)\subset f^{-1}(U).$ 由 $x_0$ 任意性得 $f^{-1}(U)$ 为开集.

定义

$\Sigma=\{B\subseteq \mathbb{R}^n|f^{-1}(B)\in \mathscr{B}\}$

易证 $\Sigma$ 为 $\sigma -$ 代数.

由引理知，$\Sigma$ 包含 $\mathbb{R}$ 上所有的开集. 又因为 $\mathscr{B}$ 为开集生成的最小 $\sigma -$ 代数，故 $\Sigma$ 包含 $\mathbb{R}$ 上所有的 Borel 集，得证.

九

（$12$ 分）叙述 $\mathbb{R}^n$ 中的 Baire 纲定理，并利用此定理证明 $\mathbb{R}$ 中的有理数集 $\mathbb{Q}$ 不是 $G_\delta$ 集.

Baire 纲定理：在完备度量空间中，可数个稠密开集的交集仍为稠密，且是第二纲集。

反证法：若 $\mathbb{Q}$ 为 $G_\delta$ 集，则 $Q=\overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}}G_n$，$G_n$ 为稠密的，包含所有有理数的开集. 由 Baire 纲定理知 $Q$ 为第二纲集.

又因为 $\mathbb{Q}$ 为可数集，可表示为单点集的并. 故 $\mathbb{Q}$ 为可数个无处稠密集的并，即 $\mathbb{Q}$ 为第一纲集，矛盾.

综上，$\mathbb{Q}$ 不是 $G_\delta$ 集.

十

（$6$ 分）假设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 可测，开球族 $\{B_\alpha \}_{\alpha \in \Gamma}$（$\Gamma$ 为指标集），构成了 $E$ 的一个开覆盖，且满足

$\sup\limits_{\alpha \in \Gamma}d(B_\alpha)<+\infty,$

其中 $d(B_\alpha)$ 代表开球 $B_\alpha$ 的直径.

求证：任给 $\varepsilon >0$，总存在 $\{B_\alpha \}_{\alpha \in \Gamma}$ 中至多互不相交的至多可数的开球列 $\{B_k \}$，使得

$m(E)\le (3+\varepsilon)^n\sum_k m(B_k),$

其中 $\underset{k}{\sum}$ 是对指标 $k$ 的至多可数求和.

对 $\forall \varepsilon > 0$，取 $\delta \le \frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}.$

取 $B_1\in \{B_\alpha \}.$ 对 $n\geq 2$，设

$l_n=\underset{\alpha \in \Gamma}{\sup}\{d(B_\alpha):B_\alpha \cap (\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}B_i)=\varnothing \}$

取一个满足 $B_\alpha \cap (\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}B_i)=\varnothing$ 且 $d(B_\alpha)>(1-\delta)l_n$ 的 $B_\alpha$，记为 $B_{n+1}.$ 直到没有满足条件的 $B_\alpha$ 为止. 这样就得到了至多可数的开球列 $\{B_k\}.$

对 $\forall x \in E$，若 $x$ 不被开球列覆盖，则 $x\in B_\alpha$，$B_\alpha$ 在第 $n+1$ 次选择中因为和 $\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}B_i$ 有交集所以被排除. 有下列关系：

$\begin{cases} d(B_\alpha)<l_n \\ d(B_n)>(1-\delta)l_n. \end{cases}$

化简得

$d(B_\alpha)<(1-\delta)d(B_n)$

设两开球的中心分别为 $x_\alpha,x_n$，对 $x\in B_\alpha$，

$|x-x_n|\le |x-x_\alpha|+|x_\alpha-x_n|\le d(B_\alpha) + d(B_\alpha) + d(B_n) \le (1+\frac{2}{1-\delta})d(B_n) \le (3+\varepsilon)d(B_n)$

即

$E\subseteq (3+\varepsilon)\underset{k}{\bigcup}B_k.$

故

$m(E)\le (3+\varepsilon)^n\sum_k m(B_k).$

十一

（$5$ 分）设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的实值函数，满足对一切 $\mathbb{R}$ 上的区间 $I$，总有

$f^{-1}(I):=\{x\in \mathbb{R}:f(x)\in I \}$

是 $\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 可测集.

求证：函数 $f$ 的图像 $G_f:=\{(x,f(x)):x\in \mathbb{R}\}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的 Lebesgue 零测集.

定义 $g(x,y)=f(x)-y$. 题设等价于 $f$ 可测，故 $g$ 可测，即 $g^{-1}(\{0\})=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:f(x)=y\}=G_f$ 为可测集.

由 Fubini 定理，

$m^2(G_f)=\int_{\mathbb{R}}m(\{y:(x,y)\in G_f\})dx$

对于固定的 $x$， $\{y:(x,y)\in G_f\}$ 为单点集 $\{f(x)\}$，测度为 0.

故 $m^2(G_f)=0$.